Matematicas Financieras Guillermo Dumrauf

MATEMATICAS FINANCIERAS 2° EDICION 2021

Escrito con un enfoque decididamente práctico y orientado a resolver los problemas técnicos habituales de los profesionales en ciencias económicas, se exponen todos los temas que se tratan en un curso universitario de matemática financiera.

Índice
Prefacio ……………………………………………………………………………………………XIX
Destinatarios ……………………………………………………………………………………….XX
Panorámica de la obra ……………………………………………………………………………XXI
Reconocimientos …………………………………………………………………………………XXIII

Capítulo 1: Introducción

1.1 ¿Por qué debemos saber matemáticas financieras? ………………………………………….. 2
El valor tiempo del dinero: un peso del futuro vale menos que un peso del presente ………… 2
Diferencia entre el interés y la tasa de interés …………………………………………………….. 4
Diferencia entre incremento porcentual y veces en que crece un capital ——- 4
Tasas de interés e inflación ……………………………………………………………………… 4
Tasas de interés y riesgo: un peso con riesgo vale menos que un peso sin riesgo… 5
Aplicaciones de las matemáticas financieras en la vida real ……………………………………….. 5
1.2 Revisión de álgebra ……………………………………………………………………………. 6
Factor común ………………………………………………………………………………….. 6
Pasaje de términos ……………………………………………………………………………… 7
Común denominador …………………………………………………………………………… 7
Propiedad distributiva de la multiplicación ……………………………………………………….. 8
Potenciación ………………………………………………………………………………….. 8
Progresiones aritméticas ………………………………………………………………………… 9
Progresiones geométricas: …………………………………………………………………….10
Función exponencial ……………………………………………………………………………11
La función exponencial natural ………………………………………………………………….11
Función logarítmica …………………………………………………………………………….12
Logaritmo natural ………………………………………………………………………………13
Propiedades de los logaritmos: …………………………………………………………………14
Derivadas ………………………………………………………………………………………15
Cálculo de la tasa de interés instantánea ………………………………………………………..15
1.3 Contenido de la página Web de apoyo ………………………………………………………..16

Capítulo 2: Interés simple

2.1 Introducción ……………………………………………………………………………………18
2.2 Monto a interés simple …………………………………………………………………………18
Marcha del interés simple ……………………………………………………………………….19
Fórmulas derivadas del monto a interés simple …………………………………………………..19
Tasa proporcional en el interés simple …………………………………………………………..21
¿Año de 360 días o año de 365 días? …………………………………………………………..22
Interés civil y comercial …………………………………………………………………………22
Ejemplos de aplicación del interés simple en la vida real …………..23
Análisis de las funciones monto e interés acumulado …………………………………………….25
Análisis del rendimiento efectivo …………………………………………………………………26
Plazo medio ………………………………………………………………………………….27
Tasa media …………………………………………………………………………………….28
2.3 Descuento simple ……………………………………………………………………………..29
Descuento racional y tasa de interés vencida …………………………………………………….29
El descuento racional: …………………………………………………………………………30
Marcha del descuento racional ………………………………………………………………….31
Fórmulas derivadas del descuento racional ………………………………………………………31
El descuento comercial y la tasa “anticipada” o “adelantada” ………………31
La operación de descuento en la vida real: la tasa de descuento nominal ……….34
Descuento comercial y racional: dos medidas diferentes de una misma operación —–.34
Cuadro de marcha del descuento comercial …………………………………………………….35
Fórmulas derivadas del descuento comercial …………………………………………………….36
Análisis del descuento comercial ………………………………………………………………..36
Tiempo que tarda el descuento en anular un capital o documento ……….37
Acerca de la controversia entre “descuento” y “actualización” …………38
2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos ………39
Vencimiento común …………………………………………………………………………….39
Vencimiento medio ……………………………………………………………………………..40
Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influye en el descuento comercial …41
2.5 Resumen ……………………………………………………………………………………….44
2.6 Preguntas ……………………………………………………………………………………..44
2.7 Problemas ……………………………………………………………………………………..45
Ejercicios de descuento simple …………………………………………………………………47
2.8 Respuesta a las preguntas …………………………………………………………………….49
2.9 Resolución de los problemas ………………………………………………………………….49
2.10 Contenido de la página Web de apoyo ………………………………………………………55

Capítulo 3: Interés compuesto

3.1 Introducción ……………………………………………………………………………………58
3.2 Monto a interés compuesto ……………………………………………………………………58
Características principales del interés compuesto ………………………………………………..60
Marcha del interés compuesto ………………………………………………………………….60
Monto a interés compuesto cuando la tasa de interés varía ………………………………………61
Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto ……………………………………………..62
Intereses acumulados …………………………………………………………………………62
Aplicaciones del interés compuesto en la vida real ……………………………………………….63
Rendimientos de las Bolsas en Latinoamérica y EE. UU. ……………..63
El interés compuesto y las medias geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
Tiempo necesario para que un capital se convierta en múltiplo de sí mismo ……67
Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, alcanzan igual monto……67
Análisis de la funciones monto e interés acumulado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Comparación entre el monto simple y el monto compuesto ……………….69
Monto fraccionario …………………………………………………………………………….70
La tasa proporcional y equivalente en los regímenes simple y compuesto ……71
Una clasificación para el régimen compuesto …………………………………………………….72
3.3 Descuento compuesto con tasa de interés vencida …………………………………………..72
Análisis de la función del valor presente utilizando derivadas ……………….74
3.4 Descuento compuesto con tasa anticipada …………………………………………………..74
Fórmula del número de períodos ……………………………………………………………….76
Análisis del descuento compuesto con tasa anticipada …………………………………………..76
Comparación del interés y el descuento en los regímenes simple y compuesto …77
Relación entre la tasa de interés y la tasa anticipada en el régimen compuesto …78
Equivalencia de capitales en el interés compuesto ……………………………………………….78
Vencimiento común y vencimiento medio ………………………………………………………..79
Comparación del vencimiento medio en los regímenes simple y compuesto …….80
3.5 Resumen ……………………………………………………………………………………….80
3.6 Preguntas ………………………………………………………………………………………80
3.7 Problemas ……………………………………………………………………………………..81
3.8 Respuesta a las preguntas …………………………………………………………………….84
3.9 Resolución de los problemas ………………………………………………………………….85
3.10 Contenido de la página Web de apoyo ………………………………………………………89

Capítulo 4: Tasas de interés

4.1 Introducción ……………………………………………………………………………………92
4.2 Tasas de interés vencidas ……………………………………………………………………92
Tasa nominal y tasa proporcional ……………………………………………………………….93
Forma de contar los días del año ……………………………………………………………….93
Tasa efectiva …………………………………………………………………………………..93
Tasa equivalente ……………………………………………………………………………….95
Observaciones sobre el concepto de la tasa efectiva …………96
Obtención de la tna a partir de la tea ……………………………………………………………97
Tasa instantánea ……………………………………………………………………………….99
Análisis de la función en —————-101
Teoría matemática del interés ………………………………………………………………… 101
Intereses obtenidos en un infinitésimo de tiempo ………………………………………………. 101
Cálculo de la tasa de interés instantánea ……………………………………………………… 102
4.3 La inflación y la tasa de interés real ……………………………………………………….. 103
Las unidades de inversión …………………………………………………………………… 105
La ecuación de arbitraje de Fisher …………………………………………………………….. 106
Obtención de la tasa real en el régimen continuo ………………………………………………. 106
4.4 Operaciones en moneda extranjera ………………………………………………………… 107
La variación del tipo de cambio …………………………………………………………….. 107
Teoría de la paridad de las tasas de interés ……………………………………………………. 109
Teoría de la paridad relativa del poder adquisitivo ………………………………………………. 110
El efecto de Fisher internacional ……………………………………………………………… 110
4.5 Tasas anticipadas …………………………………………………………………………… 111
Tasas de descuento nominal, proporcional y el descuento subperiódico …….. 112
La tasa efectiva de descuento a partir de la tasa nominal de descuento …… 112
La tasa equivalente de descuento ……………………………………………………………. 113
Frecuencia de capitalización y las tasas de interés …………………………………………….. 113
El valor límite de la tasas nominales de interés y anticipada ……………………… 114
4.6 Resumen ………………………………………………………………………………….. 116
4.7 Preguntas ………………………………………………………………………………… 116
4.8 Problemas …………………………………………………………………………………… 117
4.9 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………….. 122
4.10 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 123
4.11 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 133

Capítulo 5: Rentas o series uniformes

5.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 136
5.2 Rentas temporarias …………………………………………………………………………. 137
Notación simbólica a utilizar …………………………………………………………………. 137
Una clasificación operativa para las rentas ……………………………………………………. 138
Renta temporaria inmediata de pagos vencidos (valor presente) ……….. 139
Fórmulas derivadas de la renta temporaria inmediata ………………………………………….. 142
Valor de la cuota ……………………………………………………………………………. 142
Número de períodos ………………………………………………………………………… 142
Tasa de interés …………………………………………………………………………….. 144
Renta temporaria inmediata de pagos adelantados …………………………………………….. 144
Resolución de rentas con Excel ………………………………………………………………. 145
Resolución con calculadora financiera Hewlett-Packard HP 12C ………………. 146
Rentas diferidas ……………………………………………………………………………. 146
Rentas anticipadas e imposiciones (valor futuro) ………………………………………………. 147
Imposición de pagos vencidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Imposiciones de pagos adelantados ………………………………………………………….. 149
Diferencia entre una renta anticipada y una imposición ……………………………… 150
5.3 Relación entre las distintas rentas ………………………………………………………….. 151
Renta inmediata e imposición ………………………………………………………………… 151
Cuadro resumen del valor de las rentas temporarias …………………………………………… 152
Análisis y gráficos de las funciones de rentas ………………………………………………….. 153
Un ejemplo del mundo real: estimación de la renta de jubilación …………………….. 155
Análisis de sensibilidad del valor de una renta con Excel ……………………. 156
5.4 Cálculo de la tasa implícita de una renta con interpolación lineal ……… 157
El método de la interpolación lineal …………………………………………………………… 157
5.5 Resumen …………………………………………………………………………………….. 161
5.6 Preguntas ……………………………………………………………………………………. 161
5.7 Problemas …………………………………………………………………………………… 161
5.8 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………….. 165
5.9 Resolución de los problemas ……………………………………………………………….. 166
5.10 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 174

Capítulo 6: Rentas perpetuas y rentas variables

6.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 176
6.2 Rentas perpetuas ……………………………………………………………………………. 176
Renta inmediata de pagos vencidos ………………………………………………………….. 177
Aplicaciones de la renta perpetua: el modelo de los dividendos y el costo capitalizado ….. 179
Rentas diferidas ……………………………………………………………………………… 184
Rentas anticipadas …………………………………………………………………………… 184
6.3 Rentas variables temporarias en progresión geométrica ……………………. 185
Renta inmediata con pagos variables vencidos ………………………………………………… 185
Caso especial: que ocurre cuando g=i ………………………………………………………… 187
Rentas variables diferidas …………………………………………………………………….. 187
Rentas variables anticipadas (imposición) ……………………………………………………… 187
6.4 Rentas variables perpetuas en progresión geométrica. . . . . . . . . . . . . . . 188
Renta inmediata, variable, de pagos vencidos ………………………………………………… 188
Críticas al modelo de los dividendos con crecimiento …………………………………………… 190
Crecimiento por fases ………………………………………………………………………… 191
Renta variable diferida ……………………………………………………………………….. 192
Renta variable anticipada …………………………………………………………………… 193
6.5 Rentas variables temporarias en progresión aritmética ……………………… 193
Renta inmediata variable de pagos vencidos ………………………………………………….. 193
Cálculo de la renta inmediata temporaria a través de la diferencia entre dos rentas inmediatas
perpetuas …………………………………………………………………………………… 193
Renta variable diferida ……………………………………………………………………….. 196
Imposición …………………………………………………………………………………… 196
6.6 Rentas variables perpetuas en progresión aritmética ………………………… 196
Renta variable inmediata de pagos vencidos ………………………………………………….. 196
Renta variable diferida ……………………………………………………………………….. 196
Renta variable anticipada …………………………………………………………………….. 197
Esquema y fórmulas de rentas perpetuas y variables ………………………………………….. 197
6.7 Resumen …………………………………………………………………………………….. 198
6.8 Preguntas ……………………………………………………………………………………. 198
6.9 Problemas …………………………………………………………………………………… 199
6.10 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………… 201
6.11 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 202
6.12 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 207

Capítulo 7: Sistemas de amortización de préstamos

7.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 210
7.2 Sistema francés ……………………………………………………………………………… 210
Cuadro de marcha y fórmulas utilizadas ……………………………………………………….211
Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo …. 214
Método prospectivo ………………………………………………………………………… 214
Imputación de amortizaciones parciales y cálculo del saldo del préstamo ………. 215
Método retrospectivo ……………………………………………………………………….. 215
Cálculo del saldo del préstamo en un período irregular …………………………. 216
Tiempo Medio de Reembolso ………………………………………………………………… 216
Fondo amortizante …………………………………………………………………………… 218
Intereses periódicos ………………………………………………………………………….. 218
Intereses abonados entre períodos no consecutivos …………………………………………… 219
Resumen de fórmulas para el sistema francés …………………………………………………. 220
Refinanciación del préstamo y cálculo de la nueva cuota ………………….. 222
Sensibilidad de la cuota con respecto a la tasa de interés y al plazo ……….. 224
Efecto de pagos extraordinarios en el valor de la cuota: la cuota balloon . . . . 226
Efecto de los gastos y los impuestos en el costo efectivo del préstamo ……… 226
Indexación en el sistema francés ……………………………………………………………… 228
La indexación a partir del ajuste en el capital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
La indexación a partir del ajuste en la tasa de interés …………………………. 230
7.3 Sistema alemán ……………………………………………………………………………… 231
Fórmulas más utilizadas ……………………………………………………………………… 231
Amortización periódica ……………………………………………………………………….. 231
Cuadro de marcha …………………………………………………………………………… 232
Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo ……….. 232
Método prospectivo: ………………………………………………………………………… 232
Método retrospectivo: …………………………………………………………………….. 232
Intereses periódicos ………………………………………………………………………….. 233
Cuota periódica ……………………………………………………………………………… 233
Intereses abonados entre períodos no consecutivos …………………………………………… 233
Resumen de fórmulas ………………………………………………………………………… 235
Comparación entre el sistema de amortización francés y alemán ………. 235
7.4 Sistema americano ………………………………………………………………………….. 236
Sistema americano tradicional ………………………………………………………………… 237
Cuadro de marcha …………………………………………………………………………… 237
Sistema americano con constitución de fondo de amortización …………………. 238
Comparación del sistema americano de las dos tasas con el sistema francés ….. 238
Sistemas francés, alemán y americano: balance ………………………………………………. 239
7.5 Resumen …………………………………………………………………………………….. 239
7.6 Preguntas ……………………………………………………………………………………. 240
7.7 Problemas …………………………………………………………………………………… 241
7.8 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………….. 243
7.9 Resolución de los problemas ……………………………………………………………….. 244
7.10 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 252

Capítulo 8: Métodos de evaluación de proyectos de inversión

8.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 254
8.2 El período de recupero (payback) ………………………………………………………….. 254
Desventajas del payback …………………………………………………………………….. 254
¿Es utilizado el período de recupero? …………………………………………………………. 255
Período de recupero descontado (discounted payback) ………………………… 255
8.3 El Valor Presente Neto ………………………………………………………………………. 256
Regla de decisión del vpn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Análisis de la función del vpn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
¿Cuál es la tasa de interés que debe utilizarse para calcular el vpn? …….. 259
El supuesto de la reinversión de fondos en el vpn . . . . . . . . . . 260
8.4 La Tasa Interna de Retorno (tir) …………………………………………………………….. 261
Regla de decisión de la tir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
El supuesto de la reinversión de fondos ……………………………………………………….. 262
Cómo calcular la tir sin ayuda de calculadoras financieras: ………………….. 263
Diferencias y analogías entre el vpn y la tir . . .. . . . . . . . . . 265
8.5 La Tasa Interna de Retorno Modificada (tirm) ………………………………………………. 265
Consideraciones sobre los supuestos de la tirm . . . . . . . 267
8.6 El índice de rentabilidad o relación beneficio-costo ………………….. 269
Regla de decisión del índice de rentabilidad …………………………………………………… 269
8.7 Algunas complicaciones: cuando el vpn y la tir no coinciden ………………….. 270
Racionamiento de capital y proyectos mutuamente excluyentes ……………… 270
1. El efecto del tamaño de la inversión inicial …………………………………………………… 271
El cálculo de la tir incremental o tasa de Fisher ………………………………………………… 271
2. Igual inversión original, diferente desarrollo en el flujo de fondos ………… 273
3. Diferente vida útil …………………………………………………………………………. 274
Chequeo de la tasa de Fisher con “Solver” ……………………………………………………. 276
Presencia de tir múltiples o tir indeterminada …………………………………………………. 276
¿Cómo calcular la tasa de rentabilidad cuando aparecen tir múltiples o incalculables? …… 280
Proyectos con diferente vida: cuando la regla del vpn puede fallar …….. 280
El método de la anualidad equivalente ………………………………………………………… 281
8.8 Resumen …………………………………………………………………………………….. 282
8.9 Preguntas …………………………………………………………………………………… 282
8.10 Problemas ………………………………………………………………………………….. 285
8.11 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………… 289
8.12 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 290
8.13 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 299

Capítulo 9: Introducción al análisis de bonos

9.1 Introducción …………………………………………………………………………………. 302
9.2 Conceptos fundamentales: ¿Qué es un bono?. . . . . . . . . . . . 302
El valor nominal de un bono ………………………………………………………………….. 303
El precio de un bono y su flujo de caja ………………………………………………………… 304
Relación entre el precio y la tasa de interés …………………………………………………… 304
Uso de la función “tabla” de Excel para análisis de sensibilidad del precio ……. 305
Relación entre la tasa del cupón, la tir y el precio del bono ………………………….. 306
Valoración y rendimiento de un bono cupón cero ……………………………………………… 306
La “tir anualizada” …………………………………………………………………………… 307
9.3 Analizando el rendimiento de la inversión en bonos ………………………… 307
La tir (Yield to Maturity) ………………………………………………………………………. 308
Rendimiento corriente (current yield) ………………………………………………………….. 308
Ganancias de capital (capital gain yield) ……………………………………………………….309
Evolución del precio del bono hasta su vencimiento …………………………………………… 310
9.4 Cálculo del rendimiento total esperado (total return) ……………………………………….. 311
El rendimiento total monetario al vencimiento ………………………………………………….. 311
El rendimiento total al vencimiento ……………………………………………………………. 311
Análisis del rendimiento total al vencimiento …………………………………………………… 312
El rendimiento total al vencimiento y el rol de la tasa de reinversión …………………. 312
Análisis de sensibilidad del rendimiento total. . . . . . . . . . . . . . . 312
Rendimiento total esperado para el horizonte de inversión …………………………… 313
.5 Análisis financiero de un bono real: cálculo del rendimiento de un bono latinoamericano..315
Diseño del cash flow y cálculo de la “tir no periódica” con planilla de cálculo …. 315
Cálculo y análisis del retorno total al vencimiento ………………………………………………. 317
9.6 Resumen …………………………………………………………………………………….. 318
9.7 Preguntas ……………………………………………………………………………………. 318
9.8 Problemas …………………………………………………………………………………… 319
9.9 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………….. 321
9.10 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 321
9.11 Contenido de la página Web de apoyo ……………………………………………………. 324

Capítulo 10: Métodos de depreciación

10.1 Introducción ……………………………………………………………………………….. 326
Método de la línea recta ……………………………………………………………………… 326
Método de la suma de dígitos ………………………………………………………………… 328
Método del porcentaje fijo ……………………………………………………………………. 329
Método del fondo de amortización ……………………………………………………………. 330
10.2 Comparación de los métodos de depreciación ……………………………………………. 331
10.3 Consideración de la inflación ………………………………………………………………. 332
10.4 Consideraciones económicas de los métodos de depreciación ………………….. 332
10.5 Resumen …………………………………………………………………………………… 333
10.6 Preguntas ………………………………………………………………………………….. 333
10.7 Problemas ………………………………………………………………………………….. 334
Método de la línea recta ……………………………………………………………………… 334
Método de la suma de dígitos ……………………………………………………………….. 334
Método del porcentaje fijo ……………………………………………………………………. 335
Método del fondo de amortización ……………………………………………………………. 335
10.8 Respuesta a las preguntas ………………………………………………………………… 336
10.9 Resolución de los problemas ………………………………………………………………. 336
Método de la línea recta ……………………………………………………………………… 336
Método de la suma de dígitos ……………………………………………………………….. 337
Método del porcentaje fijo ……………………………………………………………………. 338
Método del fondo de amortización ……………………………………………………………. 339
10.10 Contenido de la página Web de apoyo …………………………………………………… 340

Capítulo 11: Opciones financieras

ContenidosFinanzas 2
11.1 Introducción ……………………………………………………. 342
11.2 Principales tipos de opciones ………………………………………… 342
Activo subyacente ……………………………………………………..343
La prima …………………………………………………………….343
Opciones de compra ……………………………………………………343
Posición del comprador de un call ……………………………………………..343
Valor del tiempo ……………………………………………………….344
El time decay …………………………………………………………345
Posiciones long y short …………………………………………………….345
Posición del vendedor del call ………………………………………………..346
Opciones de venta ……………………………………………………..346
Usted no precisa esperar al vencimiento ………………………………………349
11.3 Factores que determinan el precio de la opción ……………………………. 349
El precio de la acción …………………………………………………..349
El precio de ejercicio ……………………………………………………349
La volatilidad …………………………………………………………350
El tiempo de vida de la opción . . . . . . . .. . . . . . . . . 350
La tasa de interés libre de riesgo ……………………………………………350
Los dividendos ………………………………………………………..351
11.4 Ejercicio de la opción antes de su vencimiento ……………………………. 352
Call sobre acciones que no distribuyen dividendos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
Put sobre acciones que no distribuyen dividendos ………………………………..353
El efecto de los dividendos ………………………………………………..353
11.5 La paridad put-call en las opciones europeas …………………………….. 353
11.6 Resumen ……………………………………………………….355
11.7 Preguntas ……………………………………………………… 355
11.8 Ejercicios ……………………………………………………….355
11.9 Respuestas a las preguntas …………………………………………. 356
11.10 Resolución de los problemas ……………………………………….. 356

Capítulo 12: La fórmula de Black & Sholes

12.1 Introducción ……………………………………………………. 358
12.2 Valoración de opciones con la fórmula de Black & Scholes ……………………. 358
¿Qué es la función N(d)? …………………………………………………360
12.3 Volatilidad implícita ……………………………………………….. 361
12.4 Resumen ……………………………………………………….362
12.5 Preguntas ……………………………………………………… 363
12.6 Problemas ……………………………………………………… 363
12.7 Respuestas a las preguntas …………………………………………. 363
12.8 Resolución de los problemas ………………………………………… 363
Referencias bibliográficas …………………………………………….. 365
Glosario ………………………………………………………….. 367
Índice analítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369